В прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотинузой c вписана окружность радиуса r Докажите,что r= a+b-c/2

В прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотинузой c вписана окружность радиуса r Докажите,что r= a+b-c/2

  • Дано:
    ABC-треугольник
    угол ABC=90
    O;R;
    тр. док-ть что :
    r =(a+b-c)/2

    Решение:
    Построим три радиуса перпендикулярные сторонам треугольника, получи шесть треугольников.
    видим общие гипоиенузы, и из теоремы пифогоры с=а+b, составим уравнение, где х-кусок гипотенузы, отсекаемый радиусом:
    Получим систему
    (b-r)+r=(c-x)+r
    (a-r)+r =x+r
    отсюда следует
    b-r=c-x
    a-r=x
    b-r=c-a+r
    2r=a+b-c
    r =(a+b-c)/2
    Что и требовалось доказать.

  • Радиус окружности вписанный в любой треугольник находится по формуле:
    r= sqrt{ frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } , p= frac{a+b+c}{2}
    по формуле Герона, радиус можно выразить через площадь
    r= sqrt{ frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} }= frac{sqrt{
p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p }= frac{S}{p}= frac{2ab}{2(a+b+c)} =
=frac{2ab+a^2+b^2-a^2-b^2}{2(a+b+c)}=frac{(a+b)^2-c^2}{2(a+b+c)}=frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2(a+b+c)}=frac{a+b-c}{2}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *